Resolver {l}{y=-4x+5}{y=-3/5x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 5 } \\ { y = - \frac { 3 } { 5 } x + 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=0$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{5}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+4x=5$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4x+5$$

Ordeztu -4x+5 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+\frac{3}{5}x=5).

$$-4x+5+\frac{3}{5}x=5$$

Gehitu -4x eta \frac{3x}{5}.

$$-\frac{17}{5}x+5=5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{5}x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=-4x+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{5}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-4}&-\frac{4}{\frac{3}{5}-4}\\-\frac{1}{\frac{3}{5}-4}&\frac{1}{\frac{3}{5}-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{20}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 5+\frac{20}{17}\times 5\\\frac{5}{17}\times 5-\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=5,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{5}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

Egin y+\frac{3}{5}x=5 ken y+4x=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+4x-\frac{3}{5}x=5-5$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-\frac{3}{5}x=5-5$$

Gehitu 4x eta -\frac{3x}{5}.

$$\frac{17}{5}x=5-5$$

Gehitu 5 eta -5.

$$\frac{17}{5}x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y+\frac{3}{5}x=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=0$$