Resolver {l}{y=-4x+2}{y=-2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+4x=2$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4x+2$$

Ordeztu -4x+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+2x=-2).

$$-4x+2+2x=-2$$

Gehitu -4x eta 2x.

$$-2x+2=-2$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-4x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-4\times 2+2$$

Egin -4 bider 2.

$$y=-8+2$$

Gehitu 2 eta -8.

$$y=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-6,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+2\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-6,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$y+4x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Egin y+2x=-2 ken y+4x=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+4x-2x=2+2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-2x=2+2$$

Gehitu 4x eta -2x.

$$2x=2+2$$

Gehitu 2 eta 2.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y+2x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+2\times 2=-2$$

Egin 2 bider 2.

$$y+4=-2$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-6,x=2$$