Resolver {l}{y=-2x+2}{y+6=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y + 6 = 2 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y+6-2x=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+2x=2,y-2x=-6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+2x=2$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2x+2$$

Ordeztu -2x+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-2x=-6).

$$-2x+2-2x=-6$$

Gehitu -2x eta -2x.

$$-4x+2=-6$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-2x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2\times 2+2$$

Egin -2 bider 2.

$$y=-4+2$$

Gehitu 2 eta -4.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y+6-2x=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-6$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+2x=2,y-2x=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-6\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-2,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y+6-2x=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-6$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+2x=2,y-2x=-6$$

Egin y-2x=-6 ken y+2x=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+2x+2x=2+6$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x+2x=2+6$$

Gehitu 2x eta 2x.

$$4x=2+6$$

Gehitu 2 eta 6.

$$4x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y-2x=-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2\times 2=-6$$

Egin -2 bider 2.

$$y-4=-6$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=2$$