Resolver {l}{y=-1x+9}{5x-2y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 1 x + 9 } \\ { 5 x - 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+x=9,-2y+5x=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+x=9$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-x+9$$

Ordeztu -x+9 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+5x=18).

$$-2\left(-x+9\right)+5x=18$$

Egin -2 bider -x+9.

$$2x-18+5x=18$$

Gehitu 2x eta 5x.

$$7x-18=18$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{36}{7}$$

Ordeztu \frac{36}{7} x balioarekin y=-x+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{36}{7}+9$$

Gehitu 9 eta -\frac{36}{7}.

$$y=\frac{27}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{36}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+x=9,-2y+5x=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{1}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 18\\\frac{2}{7}\times 9+\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{36}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{36}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+x=9,-2y+5x=18$$

y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2y-2x=-2\times 9,-2y+5x=18$$

Sinplifikatu.

$$-2y-2x=-18,-2y+5x=18$$

Egin -2y+5x=18 ken -2y-2x=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2y+2y-2x-5x=-18-18$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x-5x=-18-18$$

Gehitu -2x eta -5x.

$$-7x=-18-18$$

Gehitu -18 eta -18.

$$-7x=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{36}{7}$$

Ordeztu \frac{36}{7} x balioarekin -2y+5x=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y+5\times \frac{36}{7}=18$$

Egin 5 bider \frac{36}{7}.

$$-2y+\frac{180}{7}=18$$

Egin ken \frac{180}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-\frac{54}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{27}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{36}{7}$$