Resolver {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Egin ken \frac{x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Ordeztu -\frac{x}{2}+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{1}{2}x=-3).

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Gehitu -\frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}.

$$-x+1=-3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y=-\frac{1}{2}x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Egin -\frac{1}{2} bider 4.

$$y=-2+1$$

Gehitu 1 eta -2.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-1,x=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Egin y-\frac{1}{2}x=-3 ken y+\frac{1}{2}x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Gehitu \frac{x}{2} eta \frac{x}{2}.

$$x=1+3$$

Gehitu 1 eta 3.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y-\frac{1}{2}x=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Egin -\frac{1}{2} bider 4.

$$y-2=-3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=4$$