Resolver {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu x+3 ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} lortzeko.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2} lortzeko, gehitu \frac{3}{2} eta 3.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Ordeztu \frac{9+x}{2} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-2x=10).

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ordeztu -\frac{11}{3} x balioarekin y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{11}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} eta -\frac{11}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu x+3 ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} lortzeko.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2} lortzeko, gehitu \frac{3}{2} eta 3.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu x+3 ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} lortzeko.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2} lortzeko, gehitu \frac{3}{2} eta 3.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Egin y-2x=10 ken y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Gehitu -\frac{x}{2} eta 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Gehitu \frac{9}{2} eta -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ordeztu -\frac{11}{3} x balioarekin y-2x=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Egin -2 bider -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Egin ken \frac{22}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$