Resolver {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{9}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Gehitu \frac{x}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Ordeztu \frac{x}{3}+6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{1}{9}x=-1).

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Gehitu \frac{x}{3} eta -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Ordeztu -\frac{63}{2} x balioarekin y=\frac{1}{3}x+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Egin \frac{1}{3} bider -\frac{63}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{9}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{9}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Egin y-\frac{1}{9}x=-1 ken y-\frac{1}{3}x=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Gehitu -\frac{x}{3} eta \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Gehitu 6 eta 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Ordeztu -\frac{63}{2} x balioarekin y-\frac{1}{9}x=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Egin -\frac{1}{9} bider -\frac{63}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$