Resolver {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{4}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Gehitu \frac{x}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Ordeztu \frac{x}{3}+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{4}{3}x=-2).

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Gehitu \frac{x}{3} eta -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin y=\frac{1}{3}x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Egin \frac{1}{3} bider 3.

$$y=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{4}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=2,x=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{4}{3}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Egin y-\frac{4}{3}x=-2 ken y-\frac{1}{3}x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Gehitu -\frac{x}{3} eta \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Gehitu 1 eta 2.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin y-\frac{4}{3}x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Egin -\frac{4}{3} bider 3.

$$y-4=-2$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=3$$