Resolver {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=4$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{4}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Gehitu \frac{x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

Ordeztu \frac{x}{2}-4 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+\frac{1}{4}x=-1).

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

Gehitu \frac{x}{2} eta \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{4}x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y=\frac{1}{2}x-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

Egin \frac{1}{2} bider 4.

$$y=2-4$$

Gehitu -4 eta 2.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{4}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-2,x=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{4}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Egin y+\frac{1}{4}x=-1 ken y-\frac{1}{2}x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Gehitu -\frac{x}{2} eta -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

Gehitu -4 eta 1.

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin y+\frac{1}{4}x=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

Egin \frac{1}{4} bider 4.

$$y+1=-1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=4$$