Resolver {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Gehitu \frac{x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Ordeztu \frac{x}{2}+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+3x=-2).

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Egin 2 bider \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Gehitu x eta 3x.

$$4x+2=-2$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=\frac{1}{2}x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Egin \frac{1}{2} bider -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Sinplifikatu.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Egin 2y+3x=-2 ken 2y-x=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x-3x=2+2$$

Gehitu -x eta -3x.

$$-4x=2+2$$

Gehitu 2 eta 2.

$$-4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin 2y+3x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Egin 3 bider -1.

$$2y-3=-2$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$