Resolver {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+4x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y+4x=6$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4x+6$$

Ordeztu -4x+6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-y+3x=7).

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

Egin -1 bider -4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

Gehitu 4x eta 3x.

$$7x-6=7$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{13}{7}$$

Ordeztu \frac{13}{7} x balioarekin y=-4x+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

Egin -4 bider \frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

y eta -y berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Sinplifikatu.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Egin -y+3x=7 ken -y-4x+6=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x-3x+6=-7$$

Gehitu -4x eta -3x.

$$-7x+6=-7$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{13}{7}$$

Ordeztu \frac{13}{7} x balioarekin -y+3x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

Egin 3 bider \frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Egin ken \frac{39}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=\frac{10}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$