Resolver {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+3x=56$$

Egin ken 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-3x+56$$

Ordeztu -3x+56 balioa y balioarekin beste ekuazioan (4y+x=34).

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

Egin 4 bider -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Gehitu -12x eta x.

$$-11x+224=34$$

Egin ken 224 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11x=-190$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$x=\frac{190}{11}$$

Ordeztu \frac{190}{11} x balioarekin y=-3x+56 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

Egin -3 bider \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Gehitu 56 eta -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

y eta 4y berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Sinplifikatu.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Egin 4y+x=34 ken 4y+12x=224 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Gehitu 4y eta -4y. Sinplifikatu egiten dira 4y eta -4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12x-x=224-34$$

Gehitu 12x eta -x.

$$11x=224-34$$

Gehitu 224 eta -34.

$$11x=190$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=\frac{190}{11}$$

Ordeztu \frac{190}{11} x balioarekin 4y+x=34 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Egin ken \frac{190}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{46}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$