Resolver {l}{y+25x=45}{y+.30x=35}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+25x=45$$

Egin ken 25x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-25x+45$$

Ordeztu -25x+45 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+0.3x=35).

$$-25x+45+0.3x=35$$

Gehitu -25x eta \frac{3x}{10}.

$$-24.7x+45=35$$

Egin ken 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-24.7x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24.7 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{100}{247}$$

Ordeztu \frac{100}{247} x balioarekin y=-25x+45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

Egin -25 bider \frac{100}{247}.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

Gehitu 45 eta -\frac{2500}{247}.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Egin y+0.3x=35 ken y+25x=45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25x-0.3x=45-35$$

Gehitu 25x eta -\frac{3x}{10}.

$$24.7x=45-35$$

Gehitu 45 eta -35.

$$24.7x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24.7 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{100}{247}$$

Ordeztu \frac{100}{247} x balioarekin y+0.3x=35 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

Egin 0.3 bider \frac{100}{247}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

Egin ken \frac{30}{247} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$