Resolver {l}{x-y=4}{y=-x-8}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { y = - x - 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=4,x+y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+4$$

Ordeztu y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=-8).

$$y+4+y=-8$$

Gehitu y eta y.

$$2y+4=-8$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6+4$$

Gehitu 4 eta -6.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=4,x+y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\\-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=4,x+y=-8$$

Egin x+y=-8 ken x-y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-y-y=4+8$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-y=4+8$$

Gehitu -y eta -y.

$$-2y=4+8$$

Gehitu 4 eta 8.

$$-2y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x+y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-6=-8$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-6$$