Resolver {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 20.

$$20x-y=320$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=21$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+21$$

Ordeztu y+21 balioa x balioarekin beste ekuazioan (20x-y=320).

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

Egin 20 bider y+21.

$$20y+420-y=320$$

Gehitu 20y eta -y.

$$19y+420=320$$

Egin ken 420 ekuazioaren bi aldeetan.

$$19y=-100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=-\frac{100}{19}$$

Ordeztu -\frac{100}{19} y balioarekin x=y+21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

Gehitu 21 eta -\frac{100}{19}.

$$x=\frac{299}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 20.

$$20x-y=320$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 20.

$$20x-y=320$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Egin 20x-y=320 ken x-y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-20x-y+y=21-320$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-20x=21-320$$

Gehitu x eta -20x.

$$-19x=21-320$$

Gehitu 21 eta -320.

$$-19x=-299$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$x=\frac{299}{19}$$

Ordeztu \frac{299}{19} x balioarekin 20x-y=320 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

Egin 20 bider \frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

Egin ken \frac{5980}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=\frac{100}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-\frac{100}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$