Resolver {l}{x-y=2}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+2$$

Ordeztu y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=4).

$$2\left(y+2\right)+y=4$$

Egin 2 bider y+2.

$$2y+4+y=4$$

Gehitu 2y eta y.

$$3y+4=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=2,2x+y=4$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x+y=4$$

Sinplifikatu.

$$2x-2y=4,2x+y=4$$

Egin 2x+y=4 ken 2x-2y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-2y-y=4-4$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-y=4-4$$

Gehitu -2y eta -y.

$$-3y=4-4$$

Gehitu 4 eta -4.

$$-3y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 2x+y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=0$$