Resolver {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=16$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+16$$

Ordeztu y+16 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y=5).

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

Egin -1 bider y+16.

$$-y-16+2y=5$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y-16=5$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=21$$

Ordeztu 21 y balioarekin x=y+16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=21+16$$

Gehitu 16 eta 21.

$$x=37$$

Ebatzi da sistema.

$$x=37,y=21$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=37,y=21$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

Sinplifikatu.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

Egin -x+2y=5 ken -x+y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=-16-5$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=-16-5$$

Gehitu -16 eta -5.

$$-y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=21$$

Ordeztu 21 y balioarekin -x+2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\times 21=5$$

Egin 2 bider 21.

$$-x+42=5$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-37$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=37$$

Ebatzi da sistema.

$$x=37,y=21$$