Resolver {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 5.

$$5x-30=y-6$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$5x-30-y=-6$$

Gehitu 30 bi aldeetan.

$$5x-y=-6+30$$

24 lortzeko, gehitu -6 eta 30.

$$5x-y=24$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+18=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2x+18-y=0$$

Kendu 18 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-y=-18$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=24$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Ordeztu \frac{24+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=-18).

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Egin 2 bider \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Gehitu \frac{2y}{5} eta -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Egin ken \frac{48}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=46$$

Ordeztu 46 y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Gehitu \frac{24}{5} eta \frac{46}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=14$$

Ebatzi da sistema.

$$x=14,y=46$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 5.

$$5x-30=y-6$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$5x-30-y=-6$$

Gehitu 30 bi aldeetan.

$$5x-y=-6+30$$

24 lortzeko, gehitu -6 eta 30.

$$5x-y=24$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+18=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2x+18-y=0$$

Kendu 18 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-y=-18$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=14,y=46$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 5.

$$5x-30=y-6$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$5x-30-y=-6$$

Gehitu 30 bi aldeetan.

$$5x-y=-6+30$$

24 lortzeko, gehitu -6 eta 30.

$$5x-y=24$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+18=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2x+18-y=0$$

Kendu 18 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-y=-18$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Egin 2x-y=-18 ken 5x-y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5x-2x=24+18$$

Gehitu 5x eta -2x.

$$3x=24+18$$

Gehitu 24 eta 18.

$$3x=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=14$$

Ordeztu 14 x balioarekin 2x-y=-18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\times 14-y=-18$$

Egin 2 bider 14.

$$28-y=-18$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-46$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=46$$

Ebatzi da sistema.

$$x=14,y=46$$