Resolver {l}{x-4y=4}{7x-7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-4y=4$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4y+4$$

Ordeztu 4+4y balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-7y=-14).

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

Egin 7 bider 4+4y.

$$28y+28-7y=-14$$

Gehitu 28y eta -7y.

$$21y+28=-14$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$21y=-42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=4y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4\left(-2\right)+4$$

Egin 4 bider -2.

$$x=-8+4$$

Gehitu 4 eta -8.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

Sinplifikatu.

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

Egin 7x-7y=-14 ken 7x-28y=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-28y+7y=28+14$$

Gehitu -28y eta 7y.

$$-21y=28+14$$

Gehitu 28 eta 14.

$$-21y=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -21 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 7x-7y=-14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

Egin -7 bider -2.

$$7x+14=-14$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-2$$