Resolver {l}{x-4y=-8}{x-2y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = - 8 } \\ { x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-4y=-8$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4y-8$$

Ordeztu -8+4y balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-2y=-2).

$$4y-8-2y=-2$$

Gehitu 4y eta -2y.

$$2y-8=-2$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=4y-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4\times 3-8$$

Egin 4 bider 3.

$$x=12-8$$

Gehitu -8 eta 12.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-8\right)+2\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Egin x-2y=-2 ken x-4y=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-4y+2y=-8+2$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+2y=-8+2$$

Gehitu -4y eta 2y.

$$-2y=-8+2$$

Gehitu -8 eta 2.

$$-2y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x-2y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2\times 3=-2$$

Egin -2 bider 3.

$$x-6=-2$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=3$$