Resolver {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$37-3x-y=0$$

Kendu 37 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-3x-y=-37$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x-y=-37).

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Egin -3 bider y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Gehitu -3y eta -y.

$$-4y-9=-37$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=7+3$$

Gehitu 3 eta 7.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$37-3x-y=0$$

Kendu 37 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-3x-y=-37$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$37-3x-y=0$$

Kendu 37 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-3x-y=-37$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Egin -3x-y=-37 ken x-y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+3x=3+37$$

Gehitu x eta 3x.

$$4x=3+37$$

Gehitu 3 eta 37.

$$4x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin -3x-y=-37 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3\times 10-y=-37$$

Egin -3 bider 10.

$$-30-y=-37$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=7$$