Resolver {l}{x-2y=-5}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 5 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=-5,3x+y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=-5$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y-5$$

Ordeztu 2y-5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=6).

$$3\left(2y-5\right)+y=6$$

Egin 3 bider 2y-5.

$$6y-15+y=6$$

Gehitu 6y eta y.

$$7y-15=6$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=2y-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 3-5$$

Egin 2 bider 3.

$$x=6-5$$

Gehitu -5 eta 6.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=-5,3x+y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-5\right)+\frac{2}{7}\times 6\\-\frac{3}{7}\left(-5\right)+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=-5,3x+y=6$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right),3x+y=6$$

Sinplifikatu.

$$3x-6y=-15,3x+y=6$$

Egin 3x+y=6 ken 3x-6y=-15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-6y-y=-15-6$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y-y=-15-6$$

Gehitu -6y eta -y.

$$-7y=-15-6$$

Gehitu -15 eta -6.

$$-7y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 3x+y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+3=6$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$