Resolver {l}{x^2-y^2=7}{2y=2+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 7 } \\ { 2 y = 2 + x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4\text{, }y=3$$

$$x=-\frac{8}{3}\approx -2.666666667\text{, }y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-x=2,x^{2}-y^{2}=7$$

Ebatzi 2y-x=2 ekuazioko y. Horretarako, isolatu y berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$2y-x=2$$

Egin ken -x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=x+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Ordeztu \frac{1}{2}x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (x^{2}-y^{2}=7).

$$x^{2}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)^{2}=7$$

Egin \frac{1}{2}x+1 ber bi.

$$x^{2}-\left(\frac{1}{4}x^{2}+x+1\right)=7$$

Egin -1 bider \frac{1}{4}x^{2}+x+1.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x^{2}-x-1=7$$

Gehitu x^{2} eta -\frac{1}{4}x^{2}.

$$\frac{3}{4}x^{2}-x-1=7$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{4}x^{2}-x-8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} balioa a balioarekin, -\frac{1}{2}\times 2 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{4}\left(-8\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Egin -4 bider 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-3\left(-8\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Egin -3 bider -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Gehitu 1 eta 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times \frac{3}{4}}$$

-\frac{1}{2}\times 2 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±5}{2\times \frac{3}{4}}$$

Egin 2 bider 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.

$$x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 5.

$$x=\frac{6}{\frac{3}{2}}$$

Zatitu 6 balioa \frac{3}{2} frakzioarekin, 6 balioa \frac{3}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken 1.

$$x=-\frac{4}{\frac{3}{2}}$$

Zatitu -4 balioa \frac{3}{2} frakzioarekin, -4 balioa \frac{3}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Bi ebazpide ditu x balioak: 4 eta -\frac{8}{3}. Ordeztu 4 balioa x balioarekin y=\frac{1}{2}x+1 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren y balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$y=\frac{1}{2}\times 4+1$$

Egin \frac{1}{2} bider 4.

$$y=2+1$$

Gehitu \frac{1}{2}\times 4 eta 1.

$$y=3$$

Orain, ordeztu -\frac{8}{3} balioa y=\frac{1}{2}x+1 ekuazioko x balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren y balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{8}{3}\right)+1$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{8}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{4}{3}+1$$

Gehitu -\frac{8}{3}\times \frac{1}{2} eta 1.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=4\text{ or }y=-\frac{1}{3},x=-\frac{8}{3}$$