Resolver {l}{x^2+y^2=9}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx 2.870828693\text{, }y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx -0.870828693$$

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx -0.870828693\text{, }y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx 2.870828693$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=2,y^{2}+x^{2}=9$$

Ebatzi x+y=2 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+y=2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+2$$

Ordeztu -y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=9).

$$y^{2}+\left(-y+2\right)^{2}=9$$

Egin -y+2 ber bi.

$$y^{2}+y^{2}-4y+4=9$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}-4y+4=9$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}-4y-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\times 2\left(-1\right)\times 2 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1\times 2\left(-1\right)\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -5.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+40}}{2\times 2}$$

Gehitu 16 eta 40.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{56}}{2\times 2}$$

Atera 56 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

1\times 2\left(-1\right)\times 2 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$y=\frac{4±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 2\sqrt{14}.

$$y=\frac{2\sqrt{14}+4}{4}$$

Zatitu 4+2\sqrt{14} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$

Orain, ebatzi y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{14} ken 4.

$$y=\frac{4-2\sqrt{14}}{4}$$

Zatitu 4-2\sqrt{14} balioa 4 balioarekin.

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$

Bi ebazpide ditu y balioak: 1+\frac{\sqrt{14}}{2} eta 1-\frac{\sqrt{14}}{2}. Ordeztu 1+\frac{\sqrt{14}}{2} balioa y balioarekin x=-y+2 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2$$

Orain, ordeztu 1-\frac{\sqrt{14}}{2} balioa x=-y+2 ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2,y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\text{ or }x=-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2,y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$