Resolver {l}{x^2+y^2=6}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 6 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\approx 0.633974596\text{, }y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}\approx -2.366025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\approx 2.366025404\text{, }y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}\approx -0.633974596$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=3,y^{2}+x^{2}=6$$

Ebatzi x-y=3 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x-y=3$$

Egin ken -y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=6).

$$y^{2}+\left(y+3\right)^{2}=6$$

Egin y+3 ber bi.

$$y^{2}+y^{2}+6y+9=6$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}+6y+9=6$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+6y+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\times 1^{2} balioa a balioarekin, 1\times 3\times 1\times 2 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin 1\times 3\times 1\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 3.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\times 2}$$

Gehitu 36 eta -24.

$$y=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Atera 12 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-6}{4}$$

Zatitu -6+2\sqrt{3} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{3} ken -6.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-6}{4}$$

Zatitu -6-2\sqrt{3} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{-3+\sqrt{3}}{2} eta \frac{-3-\sqrt{3}}{2}. Ordeztu \frac{-3+\sqrt{3}}{2} balioa y balioarekin x=y+3 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+3$$

Orain, ordeztu \frac{-3-\sqrt{3}}{2} balioa x=y+3 ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}+3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+3,y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}+3,y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$$