Resolver {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Ebatzi x+y=1 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+y=1$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+1$$

Ordeztu -y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=4).

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Egin -y+1 ber bi.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1\times 1\left(-1\right)\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Atera 28 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Zatitu 2+2\sqrt{7} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{7} ken 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Zatitu 2-2\sqrt{7} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{1+\sqrt{7}}{2} eta \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Ordeztu \frac{1+\sqrt{7}}{2} balioa y balioarekin x=-y+1 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Orain, ordeztu \frac{1-\sqrt{7}}{2} balioa x=-y+1 ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$