Resolver {l}{x^2+y^2=10}{x=5y}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 10 } \\ { x = 5 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{5\sqrt{65}}{13}\approx -3.100868365\text{, }y=-\frac{\sqrt{65}}{13}\approx -0.620173673$$

$$x=\frac{5\sqrt{65}}{13}\approx 3.100868365\text{, }y=\frac{\sqrt{65}}{13}\approx 0.620173673$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5y bi aldeetatik.

$$x-5y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-5y=0,y^{2}+x^{2}=10$$

Ebatzi x-5y=0 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x-5y=0$$

Egin ken -5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5y$$

Ordeztu 5y balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=10).

$$y^{2}+\left(5y\right)^{2}=10$$

Egin 5y ber bi.

$$y^{2}+25y^{2}=10$$

Gehitu y^{2} eta 25y^{2}.

$$26y^{2}=10$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$26y^{2}-10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\times 5^{2} balioa a balioarekin, 1\times 0\times 2\times 5 balioa b balioarekin, eta -10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 26\left(-10\right)}}{2\times 26}$$

Egin 1\times 0\times 2\times 5 ber bi.

$$y=\frac{0±\sqrt{-4\times 26\left(-10\right)}}{2\times 26}$$

Egin -4 bider 1+1\times 5^{2}.

$$y=\frac{0±\sqrt{-104\left(-10\right)}}{2\times 26}$$

Egin -104 bider -10.

$$y=\frac{0±\sqrt{1040}}{2\times 26}$$

Atera 1040 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{0±4\sqrt{65}}{2\times 26}$$

Egin 2 bider 1+1\times 5^{2}.

$$y=\frac{0±4\sqrt{65}}{52}$$

Orain, ebatzi y=\frac{0±4\sqrt{65}}{52} ekuazioa ± plus denean.

$$y=\frac{\sqrt{65}}{13}$$

Orain, ebatzi y=\frac{0±4\sqrt{65}}{52} ekuazioa ± minus denean.

$$y=-\frac{\sqrt{65}}{13}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{\sqrt{65}}{13} eta -\frac{\sqrt{65}}{13}. Ordeztu \frac{\sqrt{65}}{13} balioa y balioarekin x=5y ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=5\times \frac{\sqrt{65}}{13}$$

Orain, ordeztu -\frac{\sqrt{65}}{13} balioa x=5y ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=5\left(-\frac{\sqrt{65}}{13}\right)$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5\times \frac{\sqrt{65}}{13},y=\frac{\sqrt{65}}{13}\text{ or }x=5\left(-\frac{\sqrt{65}}{13}\right),y=-\frac{\sqrt{65}}{13}$$