Resolver {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+36-3y=0$$

Kendu 36 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-36$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=90$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+90$$

Ordeztu -y+90 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=-36).

$$-y+90-3y=-36$$

Gehitu -y eta -3y.

$$-4y+90=-36$$

Egin ken 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-126$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{63}{2}$$

Ordeztu \frac{63}{2} y balioarekin x=-y+90 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Gehitu 90 eta -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+36-3y=0$$

Kendu 36 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-36$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+36-3y=0$$

Kendu 36 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-36$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Egin x-3y=-36 ken x+y=90 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+3y=90+36$$

Gehitu y eta 3y.

$$4y=90+36$$

Gehitu 90 eta 36.

$$4y=126$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{63}{2}$$

Ordeztu \frac{63}{2} y balioarekin x-3y=-36 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Egin -3 bider \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Gehitu \frac{189}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{117}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$