Resolver {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=74$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+74$$

Ordeztu -y+74 balioa x balioarekin beste ekuazioan (40x+60y=3660).

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Egin 40 bider -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Gehitu -40y eta 60y.

$$20y+2960=3660$$

Egin ken 2960 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20y=700$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=35$$

Ordeztu 35 y balioarekin x=-y+74 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-35+74$$

Gehitu 74 eta -35.

$$x=39$$

Ebatzi da sistema.

$$x=39,y=35$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=39,y=35$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

x eta 40x berdintzeko, biderkatu 40 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Sinplifikatu.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Egin 40x+60y=3660 ken 40x+40y=2960 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Gehitu 40x eta -40x. Sinplifikatu egiten dira 40x eta -40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40y-60y=2960-3660$$

Gehitu 40y eta -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Gehitu 2960 eta -3660.

$$-20y=-700$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=35$$

Ordeztu 35 y balioarekin 40x+60y=3660 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$40x+60\times 35=3660$$

Egin 60 bider 35.

$$40x+2100=3660$$

Egin ken 2100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$40x=1560$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$x=39$$

Ebatzi da sistema.

$$x=39,y=35$$