Resolver {l}{x+y=72}{x=63y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 72 } \\ { x = 63 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{567}{8} = 70\frac{7}{8} = 70.875$$

$$y = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 63y bi aldeetatik.

$$x-63y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=72$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+72$$

Ordeztu -y+72 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-63y=0).

$$-y+72-63y=0$$

Gehitu -y eta -63y.

$$-64y+72=0$$

Egin ken 72 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-64y=-72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -64 balioarekin.

$$y=\frac{9}{8}$$

Ordeztu \frac{9}{8} y balioarekin x=-y+72 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{8}+72$$

Gehitu 72 eta -\frac{9}{8}.

$$x=\frac{567}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 63y bi aldeetatik.

$$x-63y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{63}{-63-1}&-\frac{1}{-63-1}\\-\frac{1}{-63-1}&\frac{1}{-63-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{1}{64}&-\frac{1}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}\times 72\\\frac{1}{64}\times 72\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{567}{8}\\\frac{9}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 63y bi aldeetatik.

$$x-63y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Egin x-63y=0 ken x+y=72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+63y=72$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+63y=72$$

Gehitu y eta 63y.

$$64y=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 64 balioarekin.

$$y=\frac{9}{8}$$

Ordeztu \frac{9}{8} y balioarekin x-63y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-63\times \frac{9}{8}=0$$

Egin -63 bider \frac{9}{8}.

$$x-\frac{567}{8}=0$$

Gehitu \frac{567}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{567}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$