Resolver {l}{x+y=7}{5x+12y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=11$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+7$$

Ordeztu -y+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+12y=7).

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

Egin 5 bider -y+7.

$$-5y+35+12y=7$$

Gehitu -5y eta 12y.

$$7y+35=7$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-4\right)+7$$

Egin -1 bider -4.

$$x=4+7$$

Gehitu 7 eta 4.

$$x=11$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=11,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

Sinplifikatu.

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

Egin 5x+12y=7 ken 5x+5y=35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y-12y=35-7$$

Gehitu 5y eta -12y.

$$-7y=35-7$$

Gehitu 35 eta -7.

$$-7y=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 5x+12y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

Egin 12 bider -4.

$$5x-48=7$$

Gehitu 48 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=55$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=11$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11,y=-4$$