Resolver {l}{x+y=60}{x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 60 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{81}{2} = 40\frac{1}{2} = 40.5$$

$$y = \frac{39}{2} = 19\frac{1}{2} = 19.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=60,x-y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=60$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+60$$

Ordeztu -y+60 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=21).

$$-y+60-y=21$$

Gehitu -y eta -y.

$$-2y+60=21$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{39}{2}$$

Ordeztu \frac{39}{2} y balioarekin x=-y+60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{39}{2}+60$$

Gehitu 60 eta -\frac{39}{2}.

$$x=\frac{81}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{81}{2},y=\frac{39}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=60,x-y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60+\frac{1}{2}\times 21\\\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{81}{2}\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{81}{2},y=\frac{39}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=60,x-y=21$$

Egin x-y=21 ken x+y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+y=60-21$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+y=60-21$$

Gehitu y eta y.

$$2y=60-21$$

Gehitu 60 eta -21.

$$2y=39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{39}{2}$$

Ordeztu \frac{39}{2} y balioarekin x-y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{39}{2}=21$$

Gehitu \frac{39}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{81}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{81}{2},y=\frac{39}{2}$$