Resolver {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=500$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+500$$

Ordeztu -y+500 balioa x balioarekin beste ekuazioan (25x+35y=1450).

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Egin 25 bider -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Gehitu -25y eta 35y.

$$10y+12500=1450$$

Egin ken 12500 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=-11050$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-1105$$

Ordeztu -1105 y balioarekin x=-y+500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Egin -1 bider -1105.

$$x=1105+500$$

Gehitu 500 eta 1105.

$$x=1605$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1605,y=-1105$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1605,y=-1105$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x eta 25x berdintzeko, biderkatu 25 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Sinplifikatu.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Egin 25x+35y=1450 ken 25x+25y=12500 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Gehitu 25x eta -25x. Sinplifikatu egiten dira 25x eta -25x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25y-35y=12500-1450$$

Gehitu 25y eta -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Gehitu 12500 eta -1450.

$$-10y=11050$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=-1105$$

Ordeztu -1105 y balioarekin 25x+35y=1450 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Egin 35 bider -1105.

$$25x-38675=1450$$

Gehitu 38675 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x=40125$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=1605$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1605,y=-1105$$