Resolver {l}{x+y=39}{x+2y=126}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 39 } \\ { x + 2 y = 126 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-48$$

$$y=87$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=39,x+2y=126$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=39$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+39$$

Ordeztu -y+39 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+2y=126).

$$-y+39+2y=126$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y+39=126$$

Egin ken 39 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=87$$

Ordeztu 87 y balioarekin x=-y+39 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-87+39$$

Gehitu 39 eta -87.

$$x=-48$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-48,y=87$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=39,x+2y=126$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 39-126\\-39+126\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-48\\87\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-48,y=87$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=39,x+2y=126$$

Egin x+2y=126 ken x+y=39 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y-2y=39-126$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=39-126$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=39-126$$

Gehitu 39 eta -126.

$$-y=-87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=87$$

Ordeztu 87 y balioarekin x+2y=126 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+2\times 87=126$$

Egin 2 bider 87.

$$x+174=126$$

Egin ken 174 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-48$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-48,y=87$$