Resolver {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=250$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+250$$

Ordeztu -y+250 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19).

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

Egin \frac{1}{19} bider -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

Gehitu -\frac{y}{19} eta \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Egin ken \frac{250}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{190} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{370}{3}$$

Ordeztu \frac{370}{3} y balioarekin x=-y+250 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

Gehitu 250 eta -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

x eta \frac{x}{19} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{19} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Egin \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 ken \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Gehitu \frac{x}{19} eta -\frac{x}{19}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{19} eta -\frac{x}{19}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Gehitu \frac{y}{19} eta -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

Gehitu \frac{250}{19} eta -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{190} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{370}{3}$$

Ordeztu \frac{370}{3} y balioarekin \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Egin \frac{1}{10} bider \frac{370}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Egin ken \frac{37}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$x=\frac{380}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$