Resolver {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=240$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+240$$

Ordeztu -y+240 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.12x+0.06y=19.2).

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

Egin 0.12 bider -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

Gehitu -\frac{3y}{25} eta \frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

Egin ken 28.8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.06y=-9.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.06 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=160$$

Ordeztu 160 y balioarekin x=-y+240 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-160+240$$

Gehitu 240 eta -160.

$$x=80$$

Ebatzi da sistema.

$$x=80,y=160$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=80,y=160$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

x eta \frac{3x}{25} berdintzeko, biderkatu 0.12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

Sinplifikatu.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

Egin 0.12x+0.06y=19.2 ken 0.12x+0.12y=28.8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Gehitu \frac{3x}{25} eta -\frac{3x}{25}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{25} eta -\frac{3x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Gehitu \frac{3y}{25} eta -\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Gehitu 28.8 eta -19.2 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.06y=9.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.06 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=160$$

Ordeztu 160 y balioarekin 0.12x+0.06y=19.2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

Egin 0.06 bider 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

Egin ken 9.6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.12x=9.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.12 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=80$$

Ebatzi da sistema.

$$x=80,y=160$$