Resolver {l}{x+y=20}{x+5=11/2y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { x + 5 = 1 \frac { 1 } { 2 } y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+10=\left(1\times 2+1\right)y$$

2 lortzeko, biderkatu 1 eta 2.

$$2x+10=\left(2+1\right)y$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$2x+10=3y$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+10-3y=0$$

Kendu 10 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-3y=-10$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=20,2x-3y=-10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=20$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+20$$

Ordeztu -y+20 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=-10).

$$2\left(-y+20\right)-3y=-10$$

Egin 2 bider -y+20.

$$-2y+40-3y=-10$$

Gehitu -2y eta -3y.

$$-5y+40=-10$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=-y+20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-10+20$$

Gehitu 20 eta -10.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+10=\left(1\times 2+1\right)y$$

2 lortzeko, biderkatu 1 eta 2.

$$2x+10=\left(2+1\right)y$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$2x+10=3y$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+10-3y=0$$

Kendu 10 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-3y=-10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=20,2x-3y=-10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 20+\frac{1}{5}\left(-10\right)\\\frac{2}{5}\times 20-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+10=\left(1\times 2+1\right)y$$

2 lortzeko, biderkatu 1 eta 2.

$$2x+10=\left(2+1\right)y$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$2x+10=3y$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+10-3y=0$$

Kendu 10 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-3y=-10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=20,2x-3y=-10$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2y=2\times 20,2x-3y=-10$$

Sinplifikatu.

$$2x+2y=40,2x-3y=-10$$

Egin 2x-3y=-10 ken 2x+2y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+2y+3y=40+10$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+3y=40+10$$

Gehitu 2y eta 3y.

$$5y=40+10$$

Gehitu 40 eta 10.

$$5y=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin 2x-3y=-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\times 10=-10$$

Egin -3 bider 10.

$$2x-30=-10$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=10$$