Resolver {l}{x+y=2}{x+1/2=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Kendu \frac{1}{2} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+2$$

Ordeztu -y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=-\frac{1}{2}).

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

Gehitu -y eta -y.

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{5}{4} y balioarekin x=-y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{5}{4}.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Kendu \frac{1}{2} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Kendu \frac{1}{2} bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Egin x-y=-\frac{1}{2} ken x+y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

Gehitu y eta y.

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

Gehitu 2 eta \frac{1}{2}.

$$2y=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{5}{4} y balioarekin x-y=-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$