Resolver {l}{x+y=170}{4x+y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 170 } \\ { 4 x + y = 60 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{110}{3} = -36\frac{2}{3} \approx -36.666666667$$

$$y = \frac{620}{3} = 206\frac{2}{3} \approx 206.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=170,4x+y=60$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=170$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+170$$

Ordeztu -y+170 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=60).

$$4\left(-y+170\right)+y=60$$

Egin 4 bider -y+170.

$$-4y+680+y=60$$

Gehitu -4y eta y.

$$-3y+680=60$$

Egin ken 680 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-620$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{620}{3}$$

Ordeztu \frac{620}{3} y balioarekin x=-y+170 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{620}{3}+170$$

Gehitu 170 eta -\frac{620}{3}.

$$x=-\frac{110}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{110}{3},y=\frac{620}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=170,4x+y=60$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{1}{1-4}\\-\frac{4}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 170+\frac{1}{3}\times 60\\\frac{4}{3}\times 170-\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{110}{3}\\\frac{620}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{110}{3},y=\frac{620}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=170,4x+y=60$$

Egin 4x+y=60 ken x+y=170 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-4x+y-y=170-60$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-4x=170-60$$

Gehitu x eta -4x.

$$-3x=170-60$$

Gehitu 170 eta -60.

$$-3x=110$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{110}{3}$$

Ordeztu -\frac{110}{3} x balioarekin 4x+y=60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4\left(-\frac{110}{3}\right)+y=60$$

Egin 4 bider -\frac{110}{3}.

$$-\frac{440}{3}+y=60$$

Gehitu \frac{440}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{620}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{110}{3},y=\frac{620}{3}$$