Resolver {l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=17$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+17$$

Ordeztu -y+17 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2.6x+3.5y=55).

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

Egin 2.6 bider -y+17.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

Gehitu -\frac{13y}{5} eta \frac{7y}{2}.

$$0.9y+44.2=55$$

Egin ken 44.2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.9y=10.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin x=-y+17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-12+17$$

Gehitu 17 eta -12.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

x eta \frac{13x}{5} berdintzeko, biderkatu 2.6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

Sinplifikatu.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

Egin 2.6x+3.5y=55 ken 2.6x+2.6y=44.2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

Gehitu \frac{13x}{5} eta -\frac{13x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{13x}{5} eta -\frac{13x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

Gehitu \frac{13y}{5} eta -\frac{7y}{2}.

$$-0.9y=44.2-55$$

Gehitu 44.2 eta -55.

$$-0.9y=-10.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin 2.6x+3.5y=55 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

Egin 3.5 bider 12.

$$2.6x+42=55$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2.6x=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=12$$