Resolver {l}{x+y=140}{0.2x+0.45y=49}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { 0.2 x + 0.45 y = 49 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=56$$

$$y=84$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=140$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+140$$

Ordeztu -y+140 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.2x+0.45y=49).

$$0.2\left(-y+140\right)+0.45y=49$$

Egin 0.2 bider -y+140.

$$-0.2y+28+0.45y=49$$

Gehitu -\frac{y}{5} eta \frac{9y}{20}.

$$0.25y+28=49$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.25y=21$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=84$$

Ordeztu 84 y balioarekin x=-y+140 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-84+140$$

Gehitu 140 eta -84.

$$x=56$$

Ebatzi da sistema.

$$x=56,y=84$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.45}{0.45-0.2}&-\frac{1}{0.45-0.2}\\-\frac{0.2}{0.45-0.2}&\frac{1}{0.45-0.2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8&-4\\-0.8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\times 140-4\times 49\\-0.8\times 140+4\times 49\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\84\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=56,y=84$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

x eta \frac{x}{5} berdintzeko, biderkatu 0.2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.2x+0.2y=0.2\times 140,0.2x+0.45y=49$$

Sinplifikatu.

$$0.2x+0.2y=28,0.2x+0.45y=49$$

Egin 0.2x+0.45y=49 ken 0.2x+0.2y=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.2x-0.2x+0.2y-0.45y=28-49$$

Gehitu \frac{x}{5} eta -\frac{x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{5} eta -\frac{x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.2y-0.45y=28-49$$

Gehitu \frac{y}{5} eta -\frac{9y}{20}.

$$-0.25y=28-49$$

Gehitu 28 eta -49.

$$-0.25y=-21$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=84$$

Ordeztu 84 y balioarekin 0.2x+0.45y=49 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.2x+0.45\times 84=49$$

Egin 0.45 bider 84.

$$0.2x+37.8=49$$

Egin ken 37.8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.2x=11.2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=56$$

Ebatzi da sistema.

$$x=56,y=84$$