Resolver {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=130$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+130$$

Ordeztu -y+130 balioa x balioarekin beste ekuazioan (20x+5y=1925).

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

Egin 20 bider -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Gehitu -20y eta 5y.

$$-15y+2600=1925$$

Egin ken 2600 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=-675$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=45$$

Ordeztu 45 y balioarekin x=-y+130 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-45+130$$

Gehitu 130 eta -45.

$$x=85$$

Ebatzi da sistema.

$$x=85,y=45$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=85,y=45$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

x eta 20x berdintzeko, biderkatu 20 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Sinplifikatu.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

Egin 20x+5y=1925 ken 20x+20y=2600 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-5y=2600-1925$$

Gehitu 20y eta -5y.

$$15y=2600-1925$$

Gehitu 2600 eta -1925.

$$15y=675$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=45$$

Ordeztu 45 y balioarekin 20x+5y=1925 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$20x+5\times 45=1925$$

Egin 5 bider 45.

$$20x+225=1925$$

Egin ken 225 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20x=1700$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$x=85$$

Ebatzi da sistema.

$$x=85,y=45$$