Resolver {l}{x+y=100}{60x+70y=6300}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=70$$

$$y=30$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=100$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+100$$

Ordeztu -y+100 balioa x balioarekin beste ekuazioan (60x+70y=6300).

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

Egin 60 bider -y+100.

$$-60y+6000+70y=6300$$

Gehitu -60y eta 70y.

$$10y+6000=6300$$

Egin ken 6000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x=-y+100 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-30+100$$

Gehitu 100 eta -30.

$$x=70$$

Ebatzi da sistema.

$$x=70,y=30$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=70,y=30$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

x eta 60x berdintzeko, biderkatu 60 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

Sinplifikatu.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

Egin 60x+70y=6300 ken 60x+60y=6000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

Gehitu 60x eta -60x. Sinplifikatu egiten dira 60x eta -60x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$60y-70y=6000-6300$$

Gehitu 60y eta -70y.

$$-10y=6000-6300$$

Gehitu 6000 eta -6300.

$$-10y=-300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin 60x+70y=6300 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$60x+70\times 30=6300$$

Egin 70 bider 30.

$$60x+2100=6300$$

Egin ken 2100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$60x=4200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 60 balioarekin.

$$x=70$$

Ebatzi da sistema.

$$x=70,y=30$$