Resolver {l}{x+y=10}{x*5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { x \times 5 = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x\times 5-y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=10$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+10$$

Ordeztu -y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=0).

$$5\left(-y+10\right)-y=0$$

Egin 5 bider -y+10.

$$-5y+50-y=0$$

Gehitu -5y eta -y.

$$-6y+50=0$$

Egin ken 50 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=-50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=\frac{25}{3}$$

Ordeztu \frac{25}{3} y balioarekin x=-y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{25}{3}+10$$

Gehitu 10 eta -\frac{25}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x\times 5-y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10\\\frac{5}{6}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x\times 5-y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=10,5x-y=0$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5y=5\times 10,5x-y=0$$

Sinplifikatu.

$$5x+5y=50,5x-y=0$$

Egin 5x-y=0 ken 5x+5y=50 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+5y+y=50$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y+y=50$$

Gehitu 5y eta y.

$$6y=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=\frac{25}{3}$$

Ordeztu \frac{25}{3} y balioarekin 5x-y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-\frac{25}{3}=0$$

Gehitu \frac{25}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{25}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$