Resolver {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=-4$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y-4$$

Ordeztu -y-4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+y=2).

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

Egin -5 bider -y-4.

$$5y+20+y=2$$

Gehitu 5y eta y.

$$6y+20=2$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-y-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

Egin -1 bider -3.

$$x=3-4$$

Gehitu -4 eta 3.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5x bi aldeetatik.

$$y-5x=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Egin -5x+y=2 ken x+y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+5x=-4-2$$

Gehitu x eta 5x.

$$6x=-4-2$$

Gehitu -4 eta -2.

$$6x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin -5x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

Egin -5 bider -1.

$$5+y=2$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-3$$