Resolver {l}{x+9y=16}{3x+y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 9 y = 16 } \\ { 3 x + y = 22 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+9y=16,3x+y=22$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+9y=16$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-9y+16$$

Ordeztu -9y+16 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=22).

$$3\left(-9y+16\right)+y=22$$

Egin 3 bider -9y+16.

$$-27y+48+y=22$$

Gehitu -27y eta y.

$$-26y+48=22$$

Egin ken 48 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-26y=-26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-9y+16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-9+16$$

Gehitu 16 eta -9.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+9y=16,3x+y=22$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\22\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-9\times 3}&-\frac{9}{1-9\times 3}\\-\frac{3}{1-9\times 3}&\frac{1}{1-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\22\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&\frac{9}{26}\\\frac{3}{26}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 16+\frac{9}{26}\times 22\\\frac{3}{26}\times 16-\frac{1}{26}\times 22\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+9y=16,3x+y=22$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 9y=3\times 16,3x+y=22$$

Sinplifikatu.

$$3x+27y=48,3x+y=22$$

Egin 3x+y=22 ken 3x+27y=48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+27y-y=48-22$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y-y=48-22$$

Gehitu 27y eta -y.

$$26y=48-22$$

Gehitu 48 eta -22.

$$26y=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 3x+y=22 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+1=22$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=1$$