Resolver {l}{x+6y=27}{7x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+6y=27$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-6y+27$$

Ordeztu -6y+27 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-3y=9).

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

Egin 7 bider -6y+27.

$$-42y+189-3y=9$$

Gehitu -42y eta -3y.

$$-45y+189=9$$

Egin ken 189 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-45y=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -45 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-6y+27 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6\times 4+27$$

Egin -6 bider 4.

$$x=-24+27$$

Gehitu 27 eta -24.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

Sinplifikatu.

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

Egin 7x-3y=9 ken 7x+42y=189 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$42y+3y=189-9$$

Gehitu 42y eta 3y.

$$45y=189-9$$

Gehitu 189 eta -9.

$$45y=180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 45 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 7x-3y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-3\times 4=9$$

Egin -3 bider 4.

$$7x-12=9$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=4$$