Resolver {l}{x+4y=8}{3x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 8 } \\ { 3 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=8,3x+4y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=8$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+8$$

Ordeztu -4y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=0).

$$3\left(-4y+8\right)+4y=0$$

Egin 3 bider -4y+8.

$$-12y+24+4y=0$$

Gehitu -12y eta 4y.

$$-8y+24=0$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-4y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 3+8$$

Egin -4 bider 3.

$$x=-12+8$$

Gehitu 8 eta -12.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=8,3x+4y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-4\times 3}&-\frac{4}{4-4\times 3}\\-\frac{3}{4-4\times 3}&\frac{1}{4-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8\\\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=8,3x+4y=0$$

Egin 3x+4y=0 ken x+4y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-3x+4y-4y=8$$

Gehitu 4y eta -4y. Sinplifikatu egiten dira 4y eta -4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-3x=8$$

Gehitu x eta -3x.

$$-2x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin 3x+4y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\left(-4\right)+4y=0$$

Egin 3 bider -4.

$$-12+4y=0$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=3$$