Resolver {l}{x+4y=6}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 6 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=6,x-y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=6$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+6$$

Ordeztu -4y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=4).

$$-4y+6-y=4$$

Gehitu -4y eta -y.

$$-5y+6=4$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{2}{5} y balioarekin x=-4y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times \frac{2}{5}+6$$

Egin -4 bider \frac{2}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{8}{5}.

$$x=\frac{22}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{2}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=6,x-y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4}&-\frac{4}{-1-4}\\-\frac{1}{-1-4}&\frac{1}{-1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{4}{5}\times 4\\\frac{1}{5}\times 6-\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{2}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=6,x-y=4$$

Egin x-y=4 ken x+4y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+4y+y=6-4$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+y=6-4$$

Gehitu 4y eta y.

$$5y=6-4$$

Gehitu 6 eta -4.

$$5y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{2}{5} y balioarekin x-y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{2}{5}=4$$

Gehitu \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{22}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{2}{5}$$