Resolver {l}{x+4y=41}{4x+5y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=41$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+41$$

Ordeztu -4y+41 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+5y=65).

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

Egin 4 bider -4y+41.

$$-16y+164+5y=65$$

Gehitu -16y eta 5y.

$$-11y+164=65$$

Egin ken 164 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11y=-99$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=-4y+41 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 9+41$$

Egin -4 bider 9.

$$x=-36+41$$

Gehitu 41 eta -36.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

Sinplifikatu.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

Egin 4x+5y=65 ken 4x+16y=164 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y-5y=164-65$$

Gehitu 16y eta -5y.

$$11y=164-65$$

Gehitu 164 eta -65.

$$11y=99$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin 4x+5y=65 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+5\times 9=65$$

Egin 5 bider 9.

$$4x+45=65$$

Egin ken 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=9$$